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「期货模拟比赛」美式期权和欧式期权的对比分析?
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[导读]:美式期权和欧式期权的对比分析? 美式期权和欧式期权的对比分析?Greeks特性分析 本报记者:股票配资jinli6 国外主要交易所期权品种的行权方式中,美式期权应用更广泛 在交易规则中
美式期权和欧式期权的对比分析?

美式期权



  美式期权和欧式期权的对比分析?Greeks特性分析

 

 

  本报记者:股票配资jinli6

 

 

  国外主要交易所期权品种的行权方式中,美式期权应用更广泛

 

 

  在交易规则中,期权行权方式的选择有美式和欧式之分。本文分析了美式期权与欧式期权的特点,并结合国际主要交易所期权行权方式的实证,发现美式期权具有相对较好的灵活性,其是商品期权尤其是农产品期权主要的行权方式。

 

 

  美式期权、欧式期权的定义

 

 

  期权是一种金融合约,这一合约赋予其持有人在约定的时间以约定的价格买入或卖出标的资产的权利。期权的行权方式主要有美式和欧式。美式期权指期权买方在合约到期日之前任意交易日都可以行使权利,也可以选择到期日行使权利。欧式期权指期权买方只能选择合约到期日行使权利,在合约到期日之前不能行权。美式期权和欧式期权在合约到期日(或到期日之前)不行权的,期权合约自动作废。

 

 

  美式期权、欧式期权的比较

 

 

  美式期权与欧式期权作为期权的两种行权方式,在衍生品市场共同存在,表明二者各有优势,没有绝对的优劣之分。下面就具体对比这两种期权的特点:

 

 

  美式期权更具行权灵活性

 

 

  美式期权在合约到期日及到期日之前的每个交易日都可行权,而欧式期权仅在合约到期日行权。显然,对于买方来讲,美式期权更具灵活性。

 

 

  美式期权权利金价格较高

 

 

  美式期权较欧式期权有更多的权利,买方可以选择在合约到期日前任意交易日行使权利。对于同一个合约而言,采取美式期权行权方式的权利金价格更高,以此来补偿卖方的风险。美式期权买方需要付出的成本更多,获得的权利也更大;美式期权卖方可以获得的收益更多,但同时也要承担期权随时被行权的风险。

 

 

  美式期权利于买方风险控制

 

 

  美式期权的买方可以很好地规避风险,他们可以选择在有利于自己的任何时机行权,让偏离自身价值的期权标的产品的市场价格逐渐回归价值,保持市场的理性运行,防止期权到期时集中行权对市场造成冲击。

 

 

  美式期权合约到期日前的任意交易日都可以行权,对于卖方的投资策略是一个考验。卖方必须根据被行权期权的情况不断调整组合,以对冲敞口风险,这对卖方的风险控制能力提出了较高的要求。

 

 

  境外期权市场的卖方主要由做市商和机构客户担当,这些机构有成熟的风险管理经验。在我国期权产品推出初期,承担卖方角色的客户面临较大的挑战。

 

 

  欧式期权无法随时行权,买方存在资产受损的风险。欧式期权未到期,即使市场发生重大变化,买方也无法立即行权,仅能通过平仓的方式了结持仓。

 

 

  对于卖方来说,欧式期权有利于构建投资组合。期权卖方一般在卖出期权之初都会采取组合的形式来对冲风险,以保证资产的保值升值。而欧式期权由于期限固定,卖方在构建投资策略时可以直接持有到期,无需考虑期权随时被行权的履约风险,保证了投资组合的连续性。

 

 

  美式期权为投资者提供灵活的退出手段

 

 

  投资者在购买期权后,了结头寸的方式主要可选择平仓、行权或者持有到期失效。持有到期失效对期权买方来讲无疑是一种损失,暂且不讨论。在正常市场情况下,如果期权合约的市场流动性不足导致期权无法平仓了结,那么投资者将承担一定的损失。

 

 

  在期权合约流动性不足的时候,美式期权为投资者提供了一条新的退出途径。由于美式期权可以在一段时间内行权,所以在流动性较差的情况下,可以通过行权转换为标的方式来结束交易。而欧式期权在市场流动性不足无法平仓的情况下只能持有到期,其对投资者时机把握能力的要求较高。

 

 

  期权定价模型对比

 

 

  目前,国际上主流的期权定价模型有Black—Scholes定价模型、BAW定价模型和二叉树模型。

 

 

  Black—Scholes定价模型简称B—S定价模型,是最早也是最著名的期权定价模型,其对金融工程的发展起了关键性作用,该模型的创立者也因此获得1997年诺贝尔经济学奖。B—S定价模型支持欧式期权的定价,但不支持美式期权的定价。

 

 

  在B—S定价模型的基础上,衍生出了BAW定价模型。该模型对美式期权价格进行了近似解析方法求解,弥补了B—S定价模型无法对美式期权定价的缺点。

 

 

  二叉树模型支持美式期权和欧式期权的定价,但为达到一定的精确度,必须有大量的模拟运算,对性能要求较高。

 

 

  由于美式期权需要保证期权买方随时行权,其在系统实现上相对复杂。

 

 

  国外主要交易所采用的期权行权方式

 

 

  对于国外主要交易所采用的期权行权方式,我们进行了实证研究。在美国和欧洲选取四家具有代表性的交易所,对其所有期权品种的行权方式进行分类,统计期权品种主要采用的行权方式。与此同时,针对国内交易所预上市期权品种绝大多数为商品期权的特点,将国外交易所商品期权的行权方式进行对比,尤其是农产品期权的行权方式,总结出商品期权行权方式的特点。另外,我们发现,CME有些期权品种同时具有美式期权和欧式期权两种合约。由于是同一交易所的同一品种,两种期权合约的交易量大小可以代表该品种受欢迎的程度。因此,我们对同时具有美式期权和欧式期权的期权品种的美式期权交易量和欧式期权交易量进行比较,总结出各自行权方式的特点。

 

 

  国外主要交易所期权品种行权方式对比

 

 

  为了直观表现美式期权与欧式期权在国际主要交易所的使用情况,我们将CME、CBOE、Eurex、LIFFE的期权品种的行权方式进行比较,得出的结论为:

 

 

  目前,国外主流交易所更多选用美式期权,尤其在农产品期权品种上,而选择欧式期权的期权品种较少。

 

 

  表1中,通过对上述交易所的257个主要期权品种进行对比,发现选择美式行权方式的品种有142个,占55.25%;选择欧式行权方式的品种有92个,占35.80%。另外,还有一些品种既有美式期权行权方式又有欧式期权行权方式,这些品种共有23个,占8.95%。选择美式行权方式的品种数量明显多于选择欧式行权方式的品种,尤其是农产品期权,全部19个品种的行权方式均选择美式,说明美式期权在期权市场尤其是农产品期权市场的行权方式中占据主流。

 

 

  表2中,我们归纳了四家交易所商品期权和金融期权各自的行权方式,发现商品期权中选择美式期权的品种有25个,选择欧式期权的品种有7个,分别占65.79%和18.42%,美式期权数量是欧式期权数量的三倍多。既有美式期权又有欧式期权的商品期权品种有6个,接近欧式期权数量,表明商品期权的美式行权方式受到市场欢迎,占据主流。

 

 

  此外,金融期权中选择美式期权的品种有142个,选择欧式期权的品种有92个,分别占53.42%和38.81%,美式期权数量超过半数,比欧式期权数量高14.61%,美式期权占据主流。其中,利率期权、交易所交易基金等绝大多数采取美式期权,股指期权则多数选择欧式。值得一提的是,在全球期权市场占据重要位置的韩国kospi200股票指数期权采用的也是欧式期权。既有美式又有欧式的期权品种有23个,占比为7.76%,占比虽然不高,但也表明仅有美式期权或者仅有欧式期权不能完全满足市场需求。

 

 

  总体来讲,国外主要交易所期权品种多数采取美式期权,金融期权的美式期权数量也高过欧式期权,但其中的指数型期权品种多数选择欧式期权。

 

 

  国外主要交易所期权品种行权方式对比

 

 

  注:表中四家交易所期权品种的行权方式为非美式、欧式的未列入其中。

 

 

  国外主要交易所商品期权行权方式对比

 

 

  为了更清楚了解商品期权行权方式的应用情况,我们选取国外有影响力的交易所的主要商品期权的行权方式进行比较,得出的结论为:

 

 

  国外主要交易所农产品期权绝大多数采用美式期权,美式期权是国际上农产品期权行权方式的主流;其他商品期权的行权方式中,美式与欧式均有,美式期权数量略多。

 

 

  表3中,我们选取了8家交易所的95个商品期权品种,其中农产品期权50个,其他商品期权45个,农产品期权中48个品种都采用了美式期权,仅有两个品种选择欧式期权。可见,农产品期权国际上主要的行权方式是美式。在其他商品期权的45个品种中,21个选择了美式,18个选择了欧式,选择美式期权的商品期权略多。

 

 

  通过以上分析可以得出:国外主要商品交易所商品期权尤其是农产品期权的行权方式主要选择美式。

 

 

  国外主要商品交易所商品期权尤其是农产品期权的行权方式主要选择美式

 

 

  注:列表中期权品种的行权方式为非美式、欧式的未列入其中。

 

 

  美式期权与欧式期权活跃度对比

 

 

  为了能直观对比出美式期权与欧式期权的活跃程度,我们选取同时具有美式期权与欧式期权的CME期权品种——轻质低硫原油、布伦特原油、天然气、燃用油、汽油作为研究对象,对比每个品种的美式期权合约与欧式期权合约的交易量。比较发现,采用美式期权的品种的活跃度更高。

 

 

  从表4中可以看出,5个品种中有3个品种(轻质低硫原油、燃用油、汽油)的美式期权交易量远大于欧式期权交易量,且相应的欧式期权交易量有逐年减少趋势,另外两个品种(布伦特原油、天然气)的欧式期权交易量虽然大于美式期权交易量,但美式期权交易量呈逐年上升趋势,欧式期权交易量则有增有减。整体来看,美式期权较欧式期权有更高的活跃度。

 

 

  综上所述,美式期权对期权买方来说兼具灵活性和较好的风险控制能力,而对期权卖方的投资组合动态管理能力要求较高;欧式期权对期权卖方来说可以更轻松地管理投资组合,并且权利金定价相对较低,而期权买方需要承担期权时间价值损耗的损失。通过实证分析,得出的结论为:目前,国外主要交易所期权品种的行权方式中,美式期权行权方式应用更多。其中,农产品期权行权方式以美式为主。此外,同一品种不同的行权方式中,美式期权的活跃度更高。

 

 

  [期权定价模型]

 

 

  目前国内已经上市或计划上市的期权品种中,50ETF期权为欧式现货期权,大商所的豆粕期权、玉米期权,以及郑商所的白糖期权、棉花期权均为美式期货期权,而上期所的铜期权则为欧式期货期权。期权类型不同,理论定价模型也不尽相同,我们常用Black-Scholes-Merton模型(简称B-S模型)为50ETF期权定价,铜期权同为欧式期权,将B-S模型中的S替换为F,即可得到Black(76)模型。豆粕期权、玉米期权使用BAW模型定价,白糖期权、棉花期权使用二叉树模型进行定价。

 

 

  为了更好地运用期权进行投资和风险管理,除了选择合适的模型和波动率对期权价格精准定价外,还需要计算出期权头寸暴露出来的敞口大小,也就是Greeks,其在精度方面不如定价要求高。美式期货期权不具有解析解,计算相对复杂,而欧式期货期权的Black模型具有解析解,为了方便计算和观察Greeks特征,是否可以使用Black模型对白糖、豆粕等美式期货期权的Greeks进行近似计算呢,而这可能存在多大的偏差?这是本文探讨的重点。

 

 

  在本文的分析当中,笔者假设无风险利率为4%,波动率为20%,对行权价为5000元/吨的白糖期权分别使用二叉树模型和Black模型,计算了欧式和美式期权Greeks随标的期货价格的变化情况,了解Greeks特征,并将两个模型计算得到的Greeks值加以对比,分析存在的差异及背后原因。

 

 

  [期权风险度量指标]

 

 

  Delta

 

 

  Delta反映了期权价格相对于标的价格的敏感程度,下图是看涨期权与看跌期权的Delta曲线。实线为Black模型下的Delta,即Delta(Black),虚线为二叉树模型下的Delta,即Delta(二叉树)。

 

 

  [期权风险度量指标

 

 

  对于看涨期权来说,Dleta为正值,其波动范围在0到1之间。看涨期权的实值程度越高,Delta值越大。平值看涨期权的Delta值接近0.5,当看涨期权处于深度实值状态时,Delta趋近于1,处于深度虚值状态时,Delta则趋近于0。

 

 

  看涨期权Delta与看跌期权Delta存在如下等式关系:Delta(P)=Delta(C)-1。因此,对于看跌期权来说,Dleta恒为负值,其波动范围在-1到0之间。看跌期权的实值程度越高,Delta绝对值越大。平值看跌期权的Delta值接近-0.5,当看跌期权处于深度实值状态时,Delta趋近于-1,处于深度虚值状态时,Delta则趋近于0。

 

 

  不同状态的Delta值可以概括为:

 

 

  不同状态的Delta值

 

 

  另外,将两个模型下的Delta值进行对比发现,整体趋势上看,用不同的模型计算出来的Delta值无较大差异,但在实值部分存在着明显区别。

 

 

  为了便于观察,我们将Delta(二叉树)与Delta(Black)做差。随着在值程度的提高(期权越是实值,在值程度越高),二者差距以加速度方式在逐渐扩大,而当在值程度超过一定阈值时,差距又逐渐缩小。

 

 

  将Delta(二叉树)与Delta(Black)做差

 

 

  为了避免虚值期权与实值期权的Delta绝对水平不同带来的影响,我们同时也计算了二者之间的相对大小,即通过Delta(二叉树)/Delta(Black)-1得到。总体来说,两种模型计算出来的Delta值存在一定差别,但差别控制在2%以内,意味着差距不大。

 

 

  具体分析,可以发现对于虚值10%以上的期权,Delta(二叉树)的绝对值小于Delta(Black),且越是虚值差别越大;而对于平实值期权而言,Delta(二叉树)的绝对值反而大于Delta(Black)。这点我们可以从期权的有效期角度做出解释。

 

 

  Delta(二叉树)的绝对值小于Delta(Black)

 

 

  美式期权与欧式期权的区别在于美式期权可以在期权持有期的任意时间点行权,而欧式期权只能在到期日行权。从这个角度出发,我们可以发现对于同一到期日的美式期权和欧式期权,由于美式期权存在部分提前行权的情况,其平均存续期要小于欧式期权,那么我们可以将美式期权视为一个剩余期限较短的欧式期权。

 

 

  某种程度上,Delta可理解为到期日成为实值期权从而被行权的概率。剩余期限越短,意味着一切即将尘埃落定,虚值期权转为实值期权的可能性越低,Delta值越小;而实值期权保持其原有状态的可能性越高,Delta值越大。因此,对于虚值期权来说,在“较短剩余期限”下的Delta(二叉树)比持有期更长的Delta(Black)更低;对于实值期权来说,在“较短剩余期限”下的Delta(二叉树)则比持有期更长的Delta(Black)更高。

 

 

  另外,从图中可以观察到,两个模型的Delta之差存在一个拐点,当实值程度超过一定阈值以后,差值开始缩小,这点可从Gamma值角度进行解释。

 

 

  Gamma

 

 

  Gamma反映了Delta相对于权利金变化的边际量,Delta曲线是Gamma曲线的积分,两个模型的Gamma曲线不同,将引起我们上述观察到的两个模型之间的Delta存在差异。

 

 

  在欧式期权由实值变为虚值的过程中,Delta曲线的变化速率呈现出先增大后减小的趋势,对应的Gamma曲线也呈现出先增大后减小最后无限趋近于0的形态。然而在上文中我们观察到了美式期权深度实值部分的Delta曲线较欧式期权存在明显差异,那么对应的实值部分美式期权的Gamma曲线是怎样的呢?

 

 

  我们可从两个模型的Gamma曲线中观察到,相同在值程度下看涨期权和看跌期权的Gamma值相等,且对于欧式期权而言,Gamma值呈现对称的结构,但是对于美式期权,并非完美对称,而是在实值位置有所偏离。在实值区域,二叉树模型下的Gamma高于Black模型下的Gamma,但超过某一个阈值以后,二叉树的Gamma又迅速减小到0,而这一阈值与实值期权的Delta差开始缩小的阈值相吻合。

 

 

  Gamma反映了Delta相对于权利金变化的边际量

 

 

  另外,两个模型下的Gamma值随在值程度的表现也与Delta情况相近,且二者之间整体差距较小。因此,在使用标的对期权进行对冲时,相对于欧式期权,美式期权买方可以从Gamma中赚得更多的收益,对应的期权卖方亏损更多。

 

 

  对于实值美式期权,在超过某一个阈值之后,Gamma(二叉树)恒等于0,同时Delta(二叉树)恒等于1,可以发现在不考虑Vega和Theta的情况下,持有这样一个看涨(看跌)期权就相当于持有一个期货多头(空头)。由于相对于欧式期权,美式期权具有可以提前行权的特点,那么是否在超过一定阈值以后,美式期权的持有者理论上一定会选择提前行权将期权头寸转化为期货头寸呢?我们将从Theta和Vega的角度来探讨这一问题。

 

 

  Theta

 

 

  Theta体现了时间因素对期权价格的影响,随着时间的流逝,期权价格将逐渐衰减,因此Theta通常表现为负值。不同于B-S模型下的Theta值,对于期货期权而言,无论美式或是欧式,看涨期权与看跌期权的Theta值是一样的。另外,Theta曲线呈现为中间低两边高的形态,也就是说平值期权的时间价值衰减速度要快于实值和虚值期权。

 

 

  从下图中可以看出,整体上两个模型计算出来的Theta值之间无明显差异,但当实值程度超过一定阈值时,二者存在明显偏离,主要表现为Black模型下的深度实值Theta均为正值,而二叉树趋近于0,这意味着今后铜期货期权上市后,其深度实值的看涨期权与看跌期权的时间价值均有可能出现为负的情形,而对于当下的白糖期权、豆粕期权来说,因为其为美式期权,时间价值不可能为负,因为一旦时间价值为负,那么期权的持有者就会选择提前行权,将期权头寸转化为期货头寸。

 

 

  Theta体现了时间因素对期权价格的影响

 

 

  究其背后原因,一方面,持有深度实值期权的资金占用高,从而产生了较高的资金成本;另一方面,越是深实值的期权时间价值越小,若继续持有期权产生的资金成本超过时间价值时,时间越短反而对期权买方越有利,这将导致欧式期权Theta为正。因美式期权可提前行权,若发生以上有利情形,投资者直接行权转化为期货头寸即可,因此Theta归零。

 

 

  Vega

 

 

  Vega反映了波动率对期权价格的影响,波动率越大,看跌期权与看涨期权的期权价格均会放大越多,且二者之间的Vega值相等。另外,持有期越长,Vega值越大;随着在值程度逐渐变大,Vega值呈现先变大后缩小的钟形形态。也就是说,持有期越长、越是接近平值的期权,Vega值越大。

 

 

  从对比图来看,可以观察到在深度实值部分,二叉树模型下的Vega和Gamma、Theta存在了相似的情况,在超过阈值以后等于0。

 

 

  Vega反映了波动率对期权价格的影响

 

 

  [结论]

 

 

  根据以上对比分析,笔者总结出欧式和美式期权Greeks有以下特性:

 

 

  无论是欧式期权还是美式期权,Delta值取值范围固定在-1到1之间,看涨期权Delta值大于0,看跌期权Delta值小于0,越是实值的期权,Delta绝对值越大。

 

 

  因为Delta值体现了期权成为实值的概率,对于不同的在值程度,越接近到期日,Delta值分布越分散,即虚实值期权保持其原有状态的确定性更高。

 

 

  相同在值程度的看涨、看跌期权的Gamma值相等,对于欧式期权,Gamma值呈现完美对称的特征,但是美式期权在实值部分有所偏离,而这也导致了美式期权的实值Delta比欧式更大。

 

 

  相同在值程度的看涨、看跌期权的Theta值相等,对于美式期货期权,Theta值恒小于等于0;但是深实值的欧式期货期权Theta值会出现大于0的情况。

 

 

  相同在值程度的看涨、看跌期权的Vega值相等,对于欧式期权,Vega值呈现完美对称的特征,但是美式期权在实值部分有所偏离,深实值期权的Vega值快速收敛于0。

 

 

  综合以上所述,我们可以发现,整体来说,欧式期货期权和美式期货期权的Greeks因子之间除深实值期权部分有较多不同,其他无论从趋势或从绝对量来看并无明显差异。基于此,为了方便起见,使用简易的Black模型对美式期货期权的Greeks进行大致分析是合适的,误差范围可控制在1%以内。

 

 

  二、蒙特卡洛方法在美式期权定价中的应用

 

 

  结合Longstaff-Schwartz方法可大大提升定价过程的效率

 

 

  A美式期权和欧式期权的区别

 

 

  蒙特卡洛方法又称随机抽样或统计试验方法,属于计算数学的一个分支,最早应用于20世纪40年代中期的原子能领域。

 

 

  蒙特卡洛方法是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法,利用随机数(实际应用中通常为伪随机数)来产生随机的基于一定分布假设的数字序列,进而解决各种计算问题。通过对问题的结果分布进行假设和拟合,利用电子计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征,故借用赌城蒙特卡洛命名。

 

 

  从理论上来说,蒙特卡洛方法需要大量的实验。实验次数越多,得到的结果才越精确。计算机技术的发展使得蒙特卡洛方法得到快速普及。

 

 

  现代的蒙特卡洛方法,已经不必亲自动手做实验,而是借助计算机的高速运转能力,使得原本费时费力的实验过程,变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题,也被项目管理人员经常使用。

 

 

  借助计算机技术,蒙特卡洛方法兼具了两大优点:一是简单,省却了繁复的数学推导和演算过程,使得一般人也能够理解和掌握;二是快速,简单和快速是蒙特卡洛方法在现代项目管理中获得应用的技术基础。

 

 

  在实际应用中,蒙特卡洛方法通过执行统计抽样实验来解决各种数学问题,提供了近似的解决方案。在金融行业数量化工具的设计和定价中蒙特卡洛方法被广泛运用,如为一些难以求出解析解的奇异期权进行定价。

 

 

  有些投资者不太清楚蒙特卡洛方法在期权定价领域里面的必要性,事实上产生这样的疑惑和国内期权市场发展情况息息相关。国内期权市场发展落后于欧美发达国家,场内期权数量屈指可数,相关的指数和资产管理产品寥寥无几,同时场外期权主要交易的品种也以简单的香草期权(vanilla options)为主,夹杂少量特殊定制的奇异期权。

 

 

  由于接触的大多是已经有解释解,或者说期权交易和对冲中的希腊字母相对容易计算的期权品种,无论是投资者还是大量金融机构的从业人员对相对复杂的期权品种的定价以及希腊字母的计算方式还是比较陌生的。

 

 

  实际上在交易者频繁交易各种奇异期权的国外市场,蒙特卡洛方法是相当常用而且具有实战意义的定价方式。下面我们以最为简单的美式期权展开讨论:

 

 

  美式期权与欧式期权相对应,其持有者有权利在期权续存期内的任意时间行权。在国外成熟的交易市场,绝大部分交易的期权合约都是美式的。相比而言,欧式期权的定价更加容易,实际情况中,交易者会考虑利用相似的欧式期权的价格对美式期权价格进行推导。

 

 

  假设C为美式期权价格,c为对应的欧式期权价格。显然,由于美式期权和欧式期权的持有者的权利不同,两者必须符合以下规律:

 

 

  一是由于持有者可以在存续期内任意时间行权,实值美式期权价格C必须不低于该期权的内含价值,也就是当前美式期权行权的收益。

 

 

  二是无论看涨看跌,美式期权的价格都必须高于对应的欧式期权价格。在同等情况下,对应的欧式期权价格为美式期权价格的下限,即C≥c、P≥p。

 

 

  三是美式期权同时满足期权价格的平价公式(Put-Call Parity),其中无分红美式期权应满足以下公式——S0-K≤C-P≤S0-Ke-rT。

 

 

  理论上,由于控制风险的暴露、节省现金、减少时间价值的损失等原因,无分红情况下的美式看涨期权不会提前行权。但在实际情况中,根据交易者具体对行情的判断,美式看涨期权仍然存在提前行权的可能。

 

 

  从数学理论的角度而言,根据前文提到过美式期权和欧式期权价格的规律,可以得出结论C≥c≥S0-Ke-rt,由于r>0及t>0,显然C>S0-K,故理论上无分红情况下的美式看涨期权不会提前行权。

 

 

  由于无分红情况下的美式看跌期权存在理论上的提前行权的可能性,如深度实值的时候,故对美式期权的定价而言,主要的挑战和难点集中在美式看跌期权的定价上。

 

 

  B美式期权的定价

 

 

  美式期权的定价问题实际上是一个最优停时问题,也就是说,关键在于寻找执行期权收益比继续持有期权的期望收益大的瞬间。

 

 

  假设存在Lt,当St≤Lt时执行期权收益比继续持有期权大,而St>Lt时提早执行期权不是一个最优选择的情况下,Lt被称为执行界限。而对于以下最优停时问题:<Z:KT2018180627C1.tif>,有基于最优停时τ*的最优解,其中τ*可由以下方程求得——<Z:KT2018180627C1.tif>。

 

 

  显然,对于美式期权的持有者而言,收益最大化的选择便是在St首次小于或等于Lt的时候执行期权。

 

 

  由于实际上很多奇异期权难以求得解析解,本文聚焦于更具普适性的计算方法。在实际应用中,用于美式期权定价的计算方法主要为二叉树法和本文主要的研究对象——蒙特卡洛方法。

 

 

  这两种方法都是基于离散时间点进行模拟分析,考虑离散时间0=t0<t1<……<tm=T,假设美式期权在上述时间点才能行权,也就是一个百慕大期权。若每个行权时间点之间的时间间隔足够小,则可以通过百慕大期权的离散定价来逼近美式期权的价格。

 

 

  假设Vi(x)为在ti时刻、标的价格为x的期权的价格,显然Vi(x)也可以代表在其他假设不变的情况下,在ti时刻新签发的、标的初始价格为x、期权续存期为(T-ti)的期权的价格。Di为ti时刻和ti+1时刻之间的折旧因子。

 

 

  显然,在实际应用中,如果要利用蒙特卡洛方法来进行定价,除了需要对标的价格的走势进行模拟以外,还需要求解上述递推方程中的E[Di-1Vi(xi)Xi-1=x]。

 

 

  下文将介绍求解E[Di-1Vi(xi)Xi-1=x]的核心思路,以及结合实际案例,运用蒙特卡洛方法对美式看跌期权进行定价。

 

 

  C Longstaff-Schwartz方法

 

 

  前文提到,求解E[Di-1VixiXi-1=x]是利用蒙特卡洛方法对美式期权定价过程中的主要难关。下面我们将通过一个简单的例子来让读者对E[Di-1VixiXi-1=x]有一个直观形象的理解,从而引入求解该问题国际上的主流方法——Longstaff-Schwartz方法。

 

 

  表为模拟标的价格

 

 

  假设一个简单的美式看跌期权,其中标的的初始价格与行权价格均为100,无风险利率为1.5%,年化波动率为20%,期权续存期长度为1年。设相等时间间隔的两个行权时间点t1和t2,显然t1=0.5,t2=1。对标的价格进行100次模拟,得出两个时间点上标的的模拟价格,并求出期权期末行权的收益折算到t1时刻的数值,作为t1时刻的继续持有期权的期望收益。

 

 

  对t1时刻的标的的模拟价格和继续持有期权的期望收益作散点图,同时我们用一条四阶的多项式方程,C1St1,t1=b0+b1St1+b2St12+b3St13+b4St14,来拟合t1时刻的标的的模拟价格和继续持有期权的期望收益之间的关系。从下图可以看出,多项式方程能够很好地描述两个变量之间的关系。

 

 

  图为t1时刻标的模拟价格与继续持有期权的期望收益的散点表现

 

 

  由此可以得出Longstaff-Schwartz方法的核心思想,即

 

 

  其中βir为常数项,Ψr为被选择的基础函数。选择基础函数是该方法应用中的一个挑战,不同的基础函数会产生不同的拟合结果。基于泰勒展开的思想,实际应用中多项式函数常被选为基础函数,而其他的一些特殊函数也会被选作为基础函数。

 

 

  事实上Longstaff-Schwartz方法中的基础函数类似于支持向量机(Support Vector Machine)中的核函数,只是在Longstaff-Schwartz方法中没有考虑到支持向量的问题,可以看作为支持向量机的一个原始模型。所以Longstaff-Schwartz方法中的基础函数其实有非常多的候选函数,像径向基核函数(Radial Basis Function)和Sigmoid函数都是可以用于实战的。如前文提到,不同的基础函数会导致不同的拟合效果,故实际应用时基础函数的选择仍需要读者根据实际应用情况进行选择,本文仅选用简单有效的多项式函数作为基础函数进行讨论。

 

 

  D应用蒙特卡洛方法对美式看跌期权进行定价

 

 

  根据前文所述,没有分红的情况下美式期权的定价的难点主要集中在美式看跌期权,而实际定价中的主要问题是如何求解每一个时间点上继续持有期权的期望收益。接下来我们将为大家详细介绍利用蒙特卡洛方法,结合Longstaff-Schwartz方法对美式看跌期权进行定价的主要过程。

 

 

  为了方便广大读者的实际使用,下面的讨论会基于实际测试的VBA代码展开,所提供的VBA代码可以稍加修改之后投入到实际应用中。

 

 

  通过蒙特卡洛方法对标的价格进行模拟

 

 

  首先输入具体数据,需要的数据包括标的初始价格、期权执行价格、无风险利率、标的年化波动率、期权续存期、行权时间点个数m以及模拟次数b。

 

 

  根据输入的数据,进行b次随机模拟,每次生成长度为m的随机模拟标的价格序列,每个模拟的时间点之间的间隔长度为dT(dT=期权续存期/m),计算并记录基于每次标的价格走势模拟的期权期末行权收益。由于期末的期权没有继续持有的选项,故期权的价格可以简单求得,并作为整个反向计算过程的初始值。此处应记录的期权期末行权收益值应共有b个。

 

 

  通过回归求出继续持有期权的期望收益

 

 

  根据Longstaff-Schwartz方法,我们可以把ti+1时刻的期权价格的折旧值作为因变量,利用多项式方程对ti时刻的标的价格和ti+1时刻的期权价格的折旧值进行回归,进而求出ti时刻继续持有期权的期望收益。

 

 

  若t+1时刻为期末时刻,ti+1时刻的期权价格的折旧值可以通过上一步计算得出的期权期末行权收益值折旧求得;若t+1时刻早于期末时刻,则需比较t+1时刻提前行权所能获得的行权收益和ti+2时刻的期权价格的折旧值的大小,选择较大的一方作为回归方程中的因变量。

 

 

  通过不断循环上述步骤,直到求出t1时刻的期权价格并对其进行折旧,其平均值,即期权签订时期权的期望收益为美式看跌期权的价格。

 

 

  E小结

 

 

  本文简要介绍了美式期权的定价逻辑,并推导出美式期权的定价难点集中在对继续持有期权的期望收益的求解上。

 

 

  另外,本文还介绍了国际上解决这一问题的主流方法——Longstaff-Schwartz方法,通过对标的价格和下一期期权的价格的折旧值进行回归,得出对当期继续持有期权的期望收益的估计值,进而通过VBA代码展示了利用蒙特卡洛方法对标的价格的走势进行模拟,对美式看跌期权的定价过程。相比更为原始的利用嵌套蒙特卡洛方法来求解继续持有期权的期望收益的做法,利用Longstaff-Schwartz方法大大提升了定价过程的效率,减少了过程中所需要的运算量。

 

 

  值得注意的是,本文中选择的基础函数是多项式函数,在实际应用中不同的基础函数会导致不同的拟合效果,故实际应用时基础函数的选择仍需要交易者根据实际应用情况进行选择。

 

 

  三、美式期权的三种定价原理是什么

 

 

  因为没有一个合适的随机过程来形容标的价格的波动过程,期权就没有一个好的定价模型。直到1973年,Black与Scholes两位学者假设标的价格变动过程符合几何布朗运动,并将其运用于欧式期权定价,从此期权市场迅速发展。但和欧式期权不一样,美式期权没有明确的表达式,目前仅仅只能通过数值方式进行求解。从数值求解的角度,主要将其分为三类:网格分析法、有限差分法、蒙特卡罗模拟法。

 

 

  (1)网络分析法

 

 

  网络分析法的主要思想是:在风险中性前提下,将标的资产符合的随机过程进行离散化处理,再用动态规划对其进行求解,获得标的资产衍生品的价格。

 

 

  目前网络分析法具体可分为二叉树法、三叉树法,以及更多分枝的模型。最早,Cox,Ross和Rubinstein提出了CRR模型,将二叉树方法运用于期权定价中。

 

 

  在运用CRR模型过程中,发现该方法具有震荡收敛的特性,尤其在对美式期权价格估计时收敛速度相当缓慢。加速的二叉树法由Breen提出,该方法在收敛速率上有所提高。Broadie,Detemple提出了BSS方法和BBSS方法,BSS方法主要是针对二叉树方法,BBSS方法则是将外推方法应用于BSS方法中。Parkinson首次提出三叉树法,Kamradt对该方法进一步做了推导。Hull将三叉树方法运用于Vasicek中,并取得了良好的估计效果。

 

 

  网格分析法可以对美式期权进行定价分析,但其震荡收敛的特性使其难以运用到高维的情况下。一旦时间节点数增多,树的分枝数将会呈现出指数爆炸状态。虽然之后有很多改进模型,但仍然难以改变这一根本性缺点。

 

 

  "

 

 

  (2)有限差分法

 

 

  有限差分法的主要思想是:将衍生品满足的微分方程变换转化成为差分方程,再用迭代的方式对差分方法进行求值。

 

 

  Brennan和Schwartz初次使用有限差分方法到期权定价中。Marchuk,Shaidurov最先将Richardson的相关外推技术用到了有限差分方法中去。有限差分法可以很好的应用于欧式期权和美式期权定价中去,但是该外推方式的效用完全取决于单个离散参数的展开,在维数增大时,计算量极大,该问题也很难克服。

 

 

  (3)蒙特卡罗模拟法

 

 

  蒙特卡罗法的主要思想为:在某一随机分布的样本空间中进行抽样,再对样本求平均值,用随机空间样本期望代替总体期望。

 

 

  最早,由Boyle提出了使用蒙特卡罗模拟方法对期权进行定价。他进一步还提出了使用方差减少方法来提高模拟的效率。根据实证分析,蒙特卡罗模拟方法对欧式期权的定价求值十分有效。但对于美式期权,因为它是需要向后迭代搜索的,这使得蒙特卡罗模拟法没办法直接解决该定价问题。对于美式期权,B arraquand,Martineau将标的资产价格的每个状态进行分隔,得到每一条路径在各个区域互相移动的概率,然后采用类似于网格分析法的方法进行逆向求解。Broadie,Glasserman,Jain提出了两个估计的方法,得到两个估计值,以用来估计期权的信赖区域。

 

 

  以上两个方法一定程度上解决了美式期权的数值解,但在实际运用中,效果并不是很理想。Longstaff,Schwartz对美式期权解法提出了最小二乘蒙特卡洛模拟法。由于该方法的有效性,其对于美式期权己经成为最流行的定价方法。

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    关键词:期权定价方法

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